Можно ли понять закономерности устройства кристаллов, глядя на узор плитки, рисунок на ковре или витиеватую решетку балкона? Да, если у вас под рукой — кристаллография. Эта строгая наука о симметрии и порядке скрыта не только в недрах минералов, но и буквально расстелена под ногами. 2 июля в Открытом кампусе Герценовского университета профессор Юрий Леонидович Войтеховский вновь провел лекцию в рамках цикла «Кристаллография вокруг нас». Тема — плоские орнаменты: паркеты, обои, ткани и их связь с научной системой симметрий.

О том, как симметрия на плоскости ведет к пониманию устройства пространства, почему 17 орнаментов — это не случайное число и как простая плитка рассказывает о фундаментальных свойствах кристаллов — в нашем новом лонгриде.

Сначала были бордюры

Еще в предыдущих лекциях профессор Войтеховский показал, как можно классифицировать «бордюры» — узоры с одним направлением трансляции, подобные фризам или лентам. Таких симметрий существует 7.

Это первый шаг на пути к полному описанию симметрии в пространстве. Следующий шаг — сетчатые орнаменты, или плоские узоры с двумя направлениями повторения. Таких групп — 17. И именно они служат переходным звеном между простыми плоскими мотивами и сложными пространственными симметриями, к которым относятся кристаллы.

Почему это важно? Потому что, как писал Н. В. Белов, без изучения этих 17 групп невозможно полноценно понять 230 пространственных (федоровских) групп симметрии. Обои и ткани, ковры и паркеты — это наш путь к пониманию структуры минералов.

Симметрия кластеров и сеток

Чтобы вывести 17 типов сетчатых орнаментов, профессор Войтеховский предлагает метод, основанный на сочетании двух строительных единиц: кластеров и сеток.

Кластеры — это минимальные фрагменты орнамента, обладающие определенной симметрией. Их всего 10, и каждый соответствует одной из плоских групп симметрии: 1, 2, m, mm2, 3, 3m, 4, 4mm, 6, 6mm. Эти группы допускают только поворотные оси порядка 1, 2, 3, 4 и 6, а также зеркальные и скользящие симметрии, поскольку отражение относительно плоскости в рамках двумерного узора невозможно (плоскость рисунка — полярна). Примеры таких кластеров мы видим буквально везде — от автомобильных дисков до архитектурных мозаик.

Сетки — это способы организации пространства, в которые «вкладываются» кластеры. Всего таких параллелограммных сеток — пять:

• квадратная (a = b, угол 90°, симметрия 4mm)
• прямоугольная (a ≠ b, угол 90°, mm2)
• ромбическая (a = b, угол ≠ 90°, mm2)
• параллелограмм произвольный (a ≠ b, угол ≠ 90°, симметрия 2)
• гексагональная (a = b, угол 60°, симметрия 6 или 3)

Интересно, что именно гексагональная сетка — несмотря на свою специфичность — оказывается самой симметричной, даже более чем квадратная.

Как собрать орнамент

Когда кластеры «вкладываются» в сетки, получается сетчатый орнамент — узор, который обладает определенной группой симметрии. Но не любое сочетание кластера и сетки возможно. Чтобы получить устойчивую симметрию, их нужно «согласовать»: нельзя, например, соединить кластер со слишком простой симметрией с высокосимметричной сеткой — получится визуально негармоничный и математически некорректный орнамент.

Комбинируя 10 кластеров с 5 сетками, автор показывает, как можно получить все 17 орнаментов. При этом дополнительно учитываются плоскости скользящего отражения — особый тип симметрии, характерный для текстильных и обойных узоров. Такие отражения как бы «переносят» узор с одновременным зеркальным отображением, что порождает особенно изящные композиции.

Симметрия в городе и дома

Пожалуй, самый вдохновляющий момент лекции — это обилие реальных примеров. Фото ковриков, кафельных плиток, архитектурных фасадов, балконных решеток и даже обоев становятся иллюстрациями строгих кристаллографических построений. Дизайнеры, как выясняется, интуитивно воспроизводят симметрии, открытые наукой: их решения часто соответствуют тем самым 17 плоским группам.

Особый акцент профессор Войтеховский делает на примере с двойной сеткой в интерьере офиса на проспекте Добролюбова в Петербурге. Здесь сочетаются сразу две симметрии — mm2 в двух вариантах: одна — исходная, другая — производная. Их гармоничное наложение объясняется как раз с позиции кристаллографии.

Заключение

Плоские орнаменты — это не просто элементы быта, это фундаментальные объекты, на которых строится наука о симметрии. Через наблюдение за ними можно научиться понимать гораздо более сложные структуры — от узоров в мозаике до кристаллических решеток минералов.

Лекция Юрия Леонидовича Войтеховского в Открытом кампусе показала: кристаллография — это не абстрактная дисциплина, а наука, которая открывает глаза на привычный мир. Мир, где обои становятся учебным пособием, а паркет — иллюстрацией закона симметрии.

Материал написан на основе статьи: Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. VIII. Сетчатые орнаменты // Вестник геонаук. 2021. 7(319). C. 13—18 и является лишь попыткой передать основной смысл лекции.

Приходите на следующую лекцию 23 июля в 17:00, чтобы узнать все из уст автора!