Итоги лекции Юрия Леонидовича Войтеховского, доктора геолого-минералогических наук, профессора кафедры геологии и геоэкологии РГПУ им. А.И. Герцена «Кристаллография вокруг нас. Правильные, полуправильные и прочие разбиения плоскости».

Кристаллография редко ассоциируется с архитектурой, тротуарной плиткой или витражами. Между тем именно там — в городских узорах — проявляются её законы, скрытые в орнаментах, формах и ритмах. Геометрия разбиения плоскости — то есть то, как многоугольники заполняют поверхность без зазоров и наложений, — напрямую связана с фундаментальными принципами кристаллического строения вещества. А значит, и с тем, как устроена природа.

Эта лекция — четвертая в цикле «Кристаллография вокруг нас» — посвящена систематике плоских разбиений: правильных, полуправильных и неправильных. Пространственно они порождают те же закономерности, что действуют в кристаллах. Иначе говоря, если вы понимаете, почему на полу парадной разложены шестиугольники, а не семиугольники, вы уже стоите на пороге кристаллографии.

I. Правильные разбиения плоскости — геометрия порядка

Начать стоит с самого строгого — правильных (или платоновых) разбиений. Это такие схемы заполнения плоскости, где участвуют только одинаковые правильные многоугольники, соединенные сторона к стороне. Простейшие примеры — треугольники, квадраты и шестиугольники, которые можно замостить без пробелов, просто повторяя один и тот же элемент.

Почему только они? Ответ лежит в геометрии. Внутренний угол при вершине правильного n-угольника равен αn = 180(n–2)/n.

Чтобы многоугольники сомкнулись в узле (в точке, где сходятся вершины), сумма этих углов должна быть ровно 360 градусов. В узлах правильного разбиения должно сходиться целое число полигонов: 360/αn = 2n/(n–2) = 2 + 4/(n–2). Но 4 делится нацело лишь на 1, 2 и 4. Поэтому n = 3, 4 и 6.

Задача решилась простым диофантовым уравнением, для каждого решения нашлась ровно одна геометрическая реализация. Другие правильные многоугольники — пятиугольники, семиугольники и далее — не годятся: их углы либо слишком большие, либо слишком маленькие, чтобы точно сложиться в 360 градусов.

У этих трех разбиений есть еще одно замечательное свойство: дуальность. Если соединить центры фигур, прилегающих по сторонам, одно разбиение превращается в другое. Например, (3(6)) и (6(3)) — дуальные, а (4(4)) — автодуально. Это аналогично знаменитым платоновым телам: куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — пары, тетраэдр — автодуален.

Пчелиные соты — пример шестиугольного разбиения. Мозаики, плитка, тротуары, пиксельные экраны — все это примеры квадратных или треугольных покрытий. И все это — проявление естественного стремления к устойчивости, простоте и симметрии.

II. Полуправильные (архимедовы) разбиения — сочетание порядка и разнообразия

Следующий класс — полуправильные разбиения, или архимедовы. Они допускают несколько видов правильных многоугольников — но строго определенным образом. Все фигуры должны быть правильными, примыкать сторонами, а порядок их чередования в каждом узле должен быть одинаковым по всей плоскости.

Для описания таких разбиений используется та же логика, но с усложнением: нужно найти такие комбинации углов, которые в сумме дадут 360 градусов. Подходя к их перечислению с прежних позиций, получим соотношение Σ kn αn = 360 и далее диофантово уравнение Σ kn (1 – 2/n) = 2, где kn — числа n-угольников в узле разбиения, n = 3, 4, 5… не определены. Его решение кажется затруднительным, но положение спасает простое наблюдение: α3 + α4 + α5 + α6 = = 60 + 90 + 108 + 120 = 378 > 360. Сумма четырех самых малых αn, взятых по одному, превышает 360°. Т. е. в узлах разбиения могут сходиться полигоны лишь двух или трех видов (2- и 3-разбиения). Для дальнейших расчетов можно пользовать таблицей.

В отличие от правильных разбиений, здесь не каждое арифметическое решение отвечает геометрической реализации, и наоборот, одно решение может отвечать двум реализациям. Так, невозможно 2-разбиение (5(2)1(0)), а решение (3342) отвечает разбиениям (33344) и (33434), отличающимся чередованием треугольников и квадратов. Для 3-разбиений вообще возможны лишь две реализации: (4,6,12) и (3426), причем в варианте (3464), вариант (3446) невозможен. Итого возможны 8 полуправильных разбиений плоскости:

Когда мы применяем арифметические решения на практике, то не исключено столкновение с геометрическими противоречиями. Например, при построении разбиения (5(2)10) сначала строим корону 5-угольников вокруг 10-угольника (внизу). Затем строим корону 10-угольников, в которой неизбежно образуются узлы вида (5,10 (2)) (показано стрелкой). Это и доказывает невозможность разбиения (5(2)10).

Аналогично, при построении разбиения (3446) начинаем с построения короны вокруг 6-угольника. Заметим, что при обходе его вершин порядок следования полигонов (по и против часовой стрелки) чередуется, что разрешено. Но при этом неизбежно образуются узлы вида (3464) с разделенными квадратами (показано стрелкой), что запрещено. Это и доказывает невозможность разбиения (3446).

III. Неправильные разбиения плоскости

Под неправильным разбиением плоскости понимается то, что полигонам больше не нужно быть правильными. Но это не значит, что здесь все произвольно — полигоны и сочетания в узлах.

В случае неправильных разбиений начнем разбор с разбиений на равные полигоны.

Разбиение плоскости на одинаковые фигуры — задача, над которой математики ломают голову уже больше ста лет. Звучит просто? Попробуйте сами разложить плоскость на одинаковые пятиугольники — и сразу поймете, почему эта задача так зацепила ученых.

Начнем с простого. Если вы берете треугольники или четырехугольники, то никаких проблем: любую такую фигуру можно повторять, как плитку на кухне, и плоскость заполнится без щелей и наложений. С шестиугольниками — тоже понятно: например, правильный шестиугольник (как в пчелиных сотах) идеально укладывается в узор. Математики даже вывели три условия, при которых шестиугольники создают такие «узкие» мозаики — и разобрались с этим довольно быстро.

А вот с пятиугольниками все пошло не так гладко. Долгое время было известно всего пять видов пятиугольников, которые могли без зазоров закрыть всю плоскость. Это открыл немецкий математик К. Райнхардт еще в 1918 году. Через полвека нашлись ещё три, потом — ещё один. Но настоящая драма началась, когда статью о новом виде разбиения случайно прочитала американская домохозяйка и увлеченный математикой любительница Марсия Райс. Она не просто заинтересовалась, а за десять лет нашла еще пять новых типов пятиугольников, которые «работают»!

В 2015 году исследователи подключили компьютер и нашли 15-й тип. А в 2017 году математик Мишель Рао проверил на компьютере все возможные варианты и подтвердил: всего таких разбиений 371, и больше не существует. Казалось бы, задача решена. Но математики продолжают искать более изящное решение — без машинной переборки, только с помощью логики и доказательств.

На первый взгляд, это просто математическая головоломка. Но на самом деле, задача связана с одной из знаменитых проблем Гильберта, сформулированных еще в 1900 году: как можно заполнять пространство одинаковыми формами? Какой способ самый плотный? Ответы на эти вопросы важны и для кристаллографии, и для физики, и даже для биологии. Например, некоторые вирусы собирают свою оболочку по такому же принципу — из идеально уложенных миниатюрных «кирпичиков».

Так что, когда вы смотрите на плитку на полу — возможно, вы смотрите на фрагмент одной из самых захватывающих задач современной математики.

А теперь рассмотрим, что там с разбиениями с простыми узлами. Что общего у старой картины, растрескавшегося асфальта и пчелиных сот? Иногда самые простые вещи скрывают в себе тонкие математические закономерности. Взгляните, например, на сетку трещин на высохшей земле или старой штукатурке — эти узоры, которые нам кажутся случайными, на самом деле подчиняются строгим правилам.

Математики называют такие структуры разбиениями с простыми узлами. Это когда каждый «узел» — то есть точка пересечения линий — соединяет ровно три стороны. Такой тип разбиения встречается в природе гораздо чаще, чем мы думаем.

На первый взгляд, все это похоже на хаос. Но тут в дело вступает Эйлер — знаменитый математик XVIII века. Он показал, что даже в самых нерегулярных сетках можно вычислить среднее число сторон у одной ячейки, и оно всегда стремится к шести, если ячеек становится очень много. Это почти магия: как бы ни выглядели отдельные фрагменты, в сумме они подчиняются строгому правилу.

Например, если внимательно рассмотреть такие «трещиноватые» структуры, можно увидеть, что в среднем каждая клетка всё равно остаётся почти шестиугольной. То есть даже в беспорядке сохраняется скрытая гармония.

Именно это делает такие структуры невероятно интересными: они соединяют хаос и симметрию, природу и математику, эстетику и формулу.

Разбиения в городских интерьерах

Правильные разбиения (3(6)), (4(4)) и (6(3))

Правильные разбиения легко найти в питерских городских интерьерах, чаще всего в напольных и настенных покрытиях, но не только.

Полуправильные 2-разбиения (48(2))

Из полуправильных 2-разбиений чаще всего встречается 48(2), иногда замаскированное дополнительными дизайнерскими элементами или наложениями.

Полуправильные 2-разбиения (3636) и (3,122)

Гораздо реже встречается 2-разбиение (3636).

На первом примере легко узнается это разбиение. На втором - разбиения можно прочитать после удаления графики внутри 6-угольников, окруженных темно-серыми треугольниками.

В данном примере хорошо видно разбиение после соединения отрезками точек касания дисков.

А это 2-разбиение (3,122) легко узнается, если убрать графику из 12-угольников, окружающих зеленые треугольники.

Полуправильные 3-разбиения (3464) и (4,6,12)

Полуправильные 3-разбиения совсем редки. Из наглядных примеров - рисунки персидских ковров.

Разбиение (4,6,12), весьма завуалированное и с деформированными квадратами, можно видеть на двери соборной мечети Санкт-Петербурга.

Разбиения на равные пентагоны (слева) и с простыми узлами

Разбиение на равные пентагоны представлено в напольном покрытии керамической плиткой.

Ниже - элегантное итальянское стенное покрытие, которое при внимательном рассмотрении оказывается неправильным разбиением с простыми узлами.

«Бытует мнение, что законы кристаллографии очень ограничивают творчество. Это не так. Как показано выше, они лишь четко определяют законы композиции. Ослабление условий увеличивает разнообразие вариантов. Правильных разбиений плоскости — 3, полуправильных — 8 (3-разбиений — 2, 2-разбиений — 6), на равные пентагоны — 15, на равные 3-, 4-, 6-угольники (последние укладываются в 3 класса эквивалентности) и с простыми узлами — бесконечно много. Природе и дизайнерам есть из чего выбирать. А в перспективе — 3D-структуры и вершина кристаллографии — 230 пространственных (федоровских) групп симметрии». Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. X. Правильные, полуправильные и неправильные разбиения плоскости // Вестник геонаук. 2022. 2(326). C. 46—52

Все фотографии наглядных примеров разбиений сделаны Ю.Л. Войтеховским. Следующая лекция Юрия Леонидович - 23 июля. Не пропустите!